相位难题与帕特森图 (Phase Problem & Patterson Map)

相位实验

帕特森图

① 分子 A · 正空间拖动原子

大圆＝重原子（f ≈ Z 较大），小圆＝轻原子。琥珀色连线是被选中原子与其他原子之间的矢量。

② |F| 振幅可测

探测器只给到 I ∝ |F|²。

③ arg F 相位测不到

不必读懂这张斑图，只需看到它被整张换掉了。

④ 逆变换重建A 的振幅＋选定相位

空心青圈＝A 的真实原子位置，空心紫圈＝B 的原子位置。

⑤ 帕特森图 P(u,v)只用 |F|²，不需要相位

原点峰已按 99 分位裁顶。每个峰＝一对原子之间的矢量，且必然中心对称。

F(h,k) = Σ f_j e^{−2πi(h u_j + k v_j)}

教材式（5.structure_factor）的二维版：单胞内每个原子按自己的坐标带一个复指数因子。

P(u,v) = Σ |F(h,k)|² e^{+2πi(h u + k v)}

帕特森函数：对无相位的强度数据强行逆变换，得到的是自相关函数——峰的位置就是原子间矢量。

当前状态

A 的振幅＋ A 的相位原图复现

相位来源arg F_A（真相位）振幅相对误差σ = 0 % 重建 vs 分子 ACC = 1.000 重建 vs 分子 BCC = 0.012 原子数 / 帕特森峰数4 / 13 选中原子#1 (f=30) 最长配对矢量0.72 nm 模型盒边长 L2.00 nm（示意）网格 / Δq128² / 0.50 nm⁻¹

这个模型想让你看懂什么：衍射只测到 |F|²，arg F 全丢了。把振幅弄错 100 %，图还认得出；把相位换成另一个分子的，重建出来的竟是那个分子——结构信息几乎全藏在相位里。帕特森函数绕开相位：对 |F|² 直接逆变换，每个峰恰好是一对原子之间的矢量，于是可以从重原子出发把其余原子推算出来。

重原子

分子 A / 正电子密度

分子 B / 负值瓣

帕特森峰与配对矢量

重建用的相位来自：

A 的相位

B 的相位

随机相位

▶ 演示

给振幅加噪声 σ（相位始终不动）：

σ 0 %

分子 A 的排布：

重原子＋3 轻原子

等重三角形

四原子链